美籍華裔數(shù)學(xué)家、中國(guó)南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)陳省身教授，在慶祝自然科學(xué)基金制設(shè)立15周年和國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)成立10周年之際，以《中國(guó)的數(shù)學(xué)》為題發(fā)表講演。以下是這篇演講的全文，特此刊出，以饗讀者。

　　張存浩先生要我講點(diǎn)數(shù)學(xué)，這么短的時(shí)間，而數(shù)學(xué)這么大，只好舉幾個(gè)要點(diǎn)談?wù)劇��?shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是根據(jù)某些假設(shè)，用邏輯的推理得到結(jié)論，因?yàn)橛眠@么簡(jiǎn)單的方法，所以數(shù)學(xué)是一門堅(jiān)固的科學(xué)，它得到的結(jié)論是很有效的。這樣的結(jié)論自然對(duì)學(xué)問(wèn)的各方面都很有應(yīng)用，不過(guò)有一點(diǎn)很奇怪的，就是這種應(yīng)用的范圍非常大。最初你用幾個(gè)數(shù)或畫幾個(gè)圖就得到的一些結(jié)論，而由此引起的發(fā)展卻常常令人難以想象。在這個(gè)發(fā)展過(guò)程中，我認(rèn)為不僅在數(shù)學(xué)上最重要，而且在人類文化史上也非常突出的就是Euclid的《幾何原本》。這是第一本系統(tǒng)性的書，主要的目的是研究空間的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以從很簡(jiǎn)單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關(guān)于整個(gè)數(shù)學(xué)的書，不僅僅限于幾何學(xué)。例如，Euclid書上首先證明素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，這便是一個(gè)算術(shù)的結(jié)論。隨著推理的復(fù)雜化，便有許多\"深刻\"的定理，需要很長(zhǎng)的證明。例如，有些解析數(shù)論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡(jiǎn)單的方法證明幾個(gè)結(jié)果，大家很欣賞，也很重要。后來(lái)方法發(fā)展了，便產(chǎn)生很復(fù)雜的推理，有些定理需要幾十頁(yè)才能證明�，F(xiàn)在有的結(jié)果的證明甚至上百頁(yè)，上千頁(yè)�？吹竭@么復(fù)雜的證明，我們固然驚嘆某些數(shù)學(xué)家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產(chǎn)生一些疑問(wèn)，甚或有些無(wú)所適從的感覺(jué)。所以我想，日后數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展，在于引進(jìn)觀念，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

　　先講講有限單群的問(wèn)題。

　　1.有限單群

　　我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展中有一個(gè)基本觀念--群。群也是數(shù)學(xué)之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結(jié)構(gòu)呢？最簡(jiǎn)單的方法是討論它的子群，再由小的群的結(jié)構(gòu)慢慢構(gòu)造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個(gè)難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。

　　命G為群，g∈G為一子群，如對(duì)任何g∈G，g-1Hg∈H，則稱H為正規(guī)的(normal)。正規(guī)子群存在，可使G的研究變?yōu)樽尤篐及商群G/H的研究。這樣就有一個(gè)很自然的問(wèn)題，有哪些有限的單群(simplegroup)？單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒(méi)有其他的非平凡的正規(guī)子群(normalsubgroup)。數(shù)學(xué)上稱其為簡(jiǎn)單群，其實(shí)一點(diǎn)也不簡(jiǎn)單。

　　有限群論的一個(gè)深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數(shù))(即群中元素的個(gè)數(shù))是偶數(shù)。更不尋常的是除了某些大類(素?cái)?shù)階循環(huán)群Zp，交錯(cuò)群An(n>=5)，Lie型單群)外，后來(lái)發(fā)現(xiàn)了26個(gè)零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群)，現(xiàn)在知道，最大的散在單群的階是

　　2413205976112133171923293141475971=808,017..=1054

　　這是很大的單群，由B.Fisher和R.L.Griess兩位數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家稱它為魔群(怪物，Monster)。

　　單群的權(quán)威數(shù)學(xué)家D.Gorenstein相信有限單群都在這里了，這當(dāng)然是數(shù)學(xué)上一個(gè)很好的結(jié)果。把單群都確定了，就像化學(xué)家把元素都確定了，物理學(xué)家把核子的結(jié)構(gòu)都確定了一樣�？蛇@里有個(gè)缺點(diǎn)，Gorenstein并未將證明定出來(lái)。他講若將證明寫出來(lái)至少有1,000頁(yè)，而1,000頁(yè)的證明無(wú)論如何很容易有錯(cuò)誤�？墒荊orenstein又說(shuō)，不要緊，若有錯(cuò)誤，這個(gè)錯(cuò)誤一定可以補(bǔ)救。你相信不相信？數(shù)學(xué)界有些人懷疑這樣的證明是否必要�，F(xiàn)在計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，許多問(wèn)題可以驗(yàn)證到很大的數(shù)，是否還需要嚴(yán)格的證明，已變成數(shù)學(xué)上一個(gè)有爭(zhēng)論的問(wèn)題。這個(gè)爭(zhēng)論看來(lái)一時(shí)無(wú)法解決。段學(xué)復(fù)先生是我的老朋友，是有限群論的專家，也許我們可以問(wèn)一下他的意見(jiàn)。我個(gè)人覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很難回答。不過(guò)數(shù)學(xué)家有個(gè)自由，當(dāng)你不能做或不喜歡做一個(gè)問(wèn)題時(shí)，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜歡做的問(wèn)題。

　　2.四色問(wèn)題

　　把地圖著色，使得鄰國(guó)有不同的顏色，需要幾種顏色？經(jīng)驗(yàn)告訴我們，四色夠了。但是嚴(yán)格的證明極難。這就是有各的四色問(wèn)題。

　　地圖不一在球面上，也可在虧格高的的曲面上(一個(gè)虧格高為g的曲面在拓?fù)渖现v是球面加g個(gè)把手；
虧格為1的曲面可設(shè)想為環(huán)面)�？审@奇的是，這個(gè)著色問(wèn)題，對(duì)于g>=1的曲面完全解決了�？梢宰C明：有整數(shù)χ(g)，滿足條件：在虧格為g的曲面上任何地圖都可用χ(g)種顏色著色，使鄰國(guó)有不同顏色，且有地圖至少需要χ(g)種顏色。這個(gè)數(shù)在g>=1時(shí)可以完全確定。我們知道χ(1)=7，即環(huán)面上的地圖可用七色著色，四色不夠。

　　令人費(fèi)解的是，證明地球上四色定理，困難多了�，F(xiàn)有的證明，需要計(jì)算機(jī)的幫助，與傳統(tǒng)的證明不同。而我們覺(jué)得最簡(jiǎn)單的情況，即我們住的地球球面上的著色問(wèn)題反而特別復(fù)雜。把擴(kuò)充的問(wèn)題解決了，得到了很有意思的結(jié)論。但是回到基本問(wèn)題，反而更難。這種現(xiàn)象不止這一個(gè)，還有很多，一個(gè)例子是所謂的低維拓?fù)�，即推廣的問(wèn)題更簡(jiǎn)單，而本身核心的問(wèn)題反而不易克服，這確是數(shù)學(xué)神秘性的一面。

　　3.橢圓曲線

　　最近的數(shù)學(xué)進(jìn)展，最受人注意的結(jié)果就是Fermat大定理的證明。Fermat大定理說(shuō)：方程式

　　xn+yn=zn，n>2

　　沒(méi)有非平凡的整數(shù)解(即xyz<>0)。這個(gè)傳說(shuō)了300年的結(jié)果的證明，最近由Princeton大學(xué)的教授AndrewJ.Wiles(英國(guó)數(shù)學(xué)家)給出。但證明中缺一段，是由他的學(xué)生RichardTaylor補(bǔ)充的。因此，F(xiàn)ermat定理現(xiàn)在已經(jīng)有了一個(gè)完全的證明。整個(gè)文章發(fā)表在最近一期的\"AnnualsofMathematics\"(Princeton大學(xué)雜志，1996，第一期)，整個(gè)一期登的是Wiles與Taylor的論文，證明Fermat定理(Wiles為此同RobertLanglands獲得了1996年的Wolf獎(jiǎng)與NationalAcademyScienceAwardinMathematics)。

　　有意思的是，證明這個(gè)定理的關(guān)鍵是橢圓曲線。這是代數(shù)數(shù)論的一個(gè)分支。有以下一則故事：英國(guó)的大數(shù)學(xué)家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去醫(yī)院探望他的朋友，印度天才數(shù)學(xué)家S.A.Ramanujan(1887-1920)。Hardy的汽車號(hào)是1729。他向Ramanujan說(shuō)，這個(gè)數(shù)目沒(méi)有意思。Ramanujan說(shuō)，不然，這是可以用兩種不同方法寫為2個(gè)立方之和的最小的數(shù)，如

　　1729=13+123=93+103

　　這結(jié)果可用橢圓曲線論來(lái)證明。

　　我們知道，要找一個(gè)一般方程的解不容易的，而要找一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式方程

　　P(x,y)=0

　　(傳統(tǒng)上叫Diophantine方程)的整數(shù)解更困難。因?yàn)槠胀ǖ慕獠粫?huì)是整數(shù)，這是數(shù)論中的一個(gè)主要問(wèn)題。

　　需要說(shuō)明的，在Wiles完成這個(gè)證明之前，我有一位在Berkley的朋友KennethA.Ribet，他有重要的貢獻(xiàn)。他證明了一日本數(shù)學(xué)家YutakaTaniyama的某一個(gè)關(guān)于橢圓曲線的假設(shè)包含F(xiàn)ermat定理。于是可將Fermat定理變?yōu)橐粋�(gè)關(guān)于橢圓曲線的定理。Wiles根據(jù)Ribet的結(jié)果又繼續(xù)經(jīng)過(guò)了許多步驟，以至達(dá)到最后的證明。即在復(fù)平面內(nèi)得到曲線。由復(fù)變函數(shù)論知道，復(fù)平面內(nèi)的曲線就成為一個(gè)Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個(gè)最簡(jiǎn)單的情形，就是一個(gè)球加上一個(gè)把手，即一個(gè)環(huán)面。環(huán)面是個(gè)群，且為可交換群。所謂橢圓曲線，就是把這個(gè)曲線看成復(fù)平面內(nèi)虧格(genus)等于1的復(fù)曲線。虧格等于1的曲線有一個(gè)非常深刻而巧妙的性質(zhì)。即它上面的點(diǎn)有一個(gè)可交換群的構(gòu)造。兩個(gè)點(diǎn)可以加起來(lái)，且有群的性質(zhì)。這是很重要的性質(zhì)。橢圓曲線與橢圓無(wú)關(guān)。原因是，若所有曲線的虧格大于1，相當(dāng)于Riemann曲面有一個(gè)Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于-1，則叫做雙曲的。虧格等于1的叫橢圓。虧格等于0的叫拋物線。橢圓曲線的研究是數(shù)論中非常重要、非常有意思的方面。最近一期的科學(xué)雜志(Science)，有位先生寫了一篇關(guān)于橢圓曲線的文章。橢圓曲線在電報(bào)的密碼上有應(yīng)用。而中國(guó)也有很多人在做代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論方面的工作。最近在黃山有一個(gè)國(guó)際性的、題為\"代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論\"的會(huì)議，由馮克勤先生主持。

　　從這個(gè)定理我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到：高深的數(shù)學(xué)是必要的。Fermat定理的結(jié)論雖然簡(jiǎn)單，但它蘊(yùn)藏著許多數(shù)學(xué)的關(guān)系，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出結(jié)論中的數(shù)學(xué)觀念。這些關(guān)系日新月異，十分神妙，學(xué)問(wèn)之奧，令人拜賞。

　　我相信，F(xiàn)ermat定理不能用初等方法證明，這種努力是徒勞的。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，一定要吸取幾千年所有的進(jìn)步。

　　4.拓?fù)渑c量子場(chǎng)論

　　1995年初的一天晚上，我在家看晚間電視新聞。突然，我聽(tīng)到自己的名字，大吃一驚。原來(lái)加利福尼亞發(fā)一種彩票，頭彩300萬(wàn)美元，若無(wú)人中彩的話，可以積累到下一次抽彩。我從前的一個(gè)學(xué)生，名RobertUomini，中了頭彩美金2,200萬(wàn)元。他曾選過(guò)我的本科課，當(dāng)時(shí)還對(duì)微分幾何很有興趣。他很念舊，以100萬(wàn)美元捐贈(zèng)加州大學(xué)，設(shè)立\"陳省身講座\"。學(xué)校決定，以此講座邀請(qǐng)名學(xué)者為訪問(wèn)教授。第一位應(yīng)邀的為英國(guó)數(shù)學(xué)家SirMichaelAtiyah。他到中國(guó)不止一次。他是英國(guó)影響最大的數(shù)學(xué)家，劍橋大學(xué)三一學(xué)院的院長(zhǎng)，卸任的英國(guó)皇家協(xié)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。Atiyah很會(huì)講學(xué)，也很博學(xué)，他的報(bào)告有很大的吸引力。他作了八講，講題是\"拓?fù)渑c量子場(chǎng)論\"。

　　這是當(dāng)前一個(gè)熱門的課題，把高深的數(shù)學(xué)和物理聯(lián)系起來(lái)了，導(dǎo)出了深刻的結(jié)果�，F(xiàn)在拓?fù)湓谖锢砩嫌蟹浅Ｖ匾�的�?yīng)用，這跟楊振寧的Yang-Mills場(chǎng)方程有很密切的關(guān)系。楊先生喜歡說(shuō)，你們數(shù)學(xué)家寫的東西，我們學(xué)物理的人看不懂，等于另外一種文字。我想我們搞數(shù)學(xué)的人有責(zé)任把我們的結(jié)果，寫成不是本行的人也至少知道你講的是怎么一回事。物理學(xué)、量子力學(xué)，尤其是量子場(chǎng)論與數(shù)學(xué)的關(guān)系其實(shí)并不復(fù)雜。說(shuō)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，講一下矢量空間，Euclid空間就是一個(gè)矢量空間。再進(jìn)一步，多個(gè)矢量空間構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g，這就是所謂的矢量叢，即一束這樣的空間。這樣的空間有一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)。比如說(shuō)，局部來(lái)講，這種矢量空間是一個(gè)chart，是一個(gè)集，可用坐標(biāo)來(lái)表示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)矢量叢這種空間在物理上很有用。物理學(xué)的一個(gè)基本觀念是\"場(chǎng)\"。最簡(jiǎn)單的場(chǎng)是電磁場(chǎng)，尤為近代生活的一部分。電磁場(chǎng)的\"勢(shì)\"適合Maxwell方程。HermannWeyl第一個(gè)看出這個(gè)勢(shì)不是一個(gè)確定的函數(shù)。它可以變化。這在物理上叫做規(guī)范(gauge，不完全確定的，可以變化的)，這就是物理上規(guī)范場(chǎng)論的第一個(gè)情形。

　　物理上有4種場(chǎng)：電磁場(chǎng)、引力場(chǎng)、強(qiáng)作用場(chǎng)和弱作用場(chǎng)�，F(xiàn)在知道，這些場(chǎng)都是規(guī)范場(chǎng)。即數(shù)學(xué)系上是一束矢量空間，用一個(gè)線性群來(lái)縫住的。電磁場(chǎng)的重要推廣，是Yang-Mills的規(guī)范場(chǎng)論。楊先生的偉大貢獻(xiàn)就是在SU(2)(specialunitarygroupintwovariables)情形下得到物理意義明確的規(guī)范場(chǎng)，即同位旋(isospin)規(guī)范場(chǎng)，這種將數(shù)學(xué)現(xiàn)象給以物理的解釋，是件了不起的工作，因?yàn)橐酝�的Maxwell場(chǎng)論是一個(gè)可交換的群�，F(xiàn)在變?yōu)樵赟U(2)，群是不能交換的。而實(shí)際上，物理中找到了這樣的場(chǎng)，這是科學(xué)上一個(gè)偉大的發(fā)展。數(shù)學(xué)家可以自豪的是，物理學(xué)家所需的幾何觀念和工具，在數(shù)學(xué)上已經(jīng)發(fā)展了。

　　楊先生之所以有這么大的成就，其中一個(gè)很重要的、很了不起的原因是除了物理的感覺(jué)以外，他有很堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他能夠在這大堆復(fù)雜的方程中看出某些規(guī)律，它們具有某種基本的數(shù)學(xué)性質(zhì)。Yang-Mills方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是纖維叢。這種觀念Dirac就曾有過(guò)。Dirac的一篇基本論文中就講到這種數(shù)學(xué)。但Dirac沒(méi)有數(shù)學(xué)的工具。所以他在講這種觀念時(shí)，不但數(shù)學(xué)家不懂，就連物理學(xué)家也不懂。不過(guò)，其中有一個(gè)到現(xiàn)在還未解決的物理含義，即有否磁單極(magneticmonople)。可能會(huì)有。就是說(shuō)，有否這樣的場(chǎng)，它的曲率不等于0(曲率是度量場(chǎng)的復(fù)雜性的)？物理上要是發(fā)現(xiàn)了這種場(chǎng)，會(huì)是件不得了的事實(shí)。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　這些觀念的數(shù)學(xué)不簡(jiǎn)單。

　　Yang-Mills方程反過(guò)來(lái)影響到拓?fù)洹，F(xiàn)在的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中，所謂低維拓?fù)?二維，三維，四維)非常受人注意。因?yàn)槲锢砜臻g是四維空間。而四維空間有許多奇妙的性質(zhì)。我們知道代數(shù)幾何、曲線論、復(fù)變函數(shù)論等許多基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論是二維拓?fù)�。而現(xiàn)在必到四維，四維有spinor理論，有quantum結(jié)構(gòu)。四維與物理更接近。它的結(jié)構(gòu)是Lorentz結(jié)構(gòu)，而不是Riemann結(jié)構(gòu)。這方面有很多工作可做。根據(jù)Yang-Mills方程，對(duì)于四維拓?fù)�，Atiyah的學(xué)生英國(guó)數(shù)學(xué)家SimonDonaldson有很重要的貢獻(xiàn)。其中有一個(gè)結(jié)果就是利用Yang-Mills方程證明四維Euclid空間R4有無(wú)數(shù)微分結(jié)構(gòu)與其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)不同。這一結(jié)果最近又由Seiberg-Witten的新方程大大的簡(jiǎn)化了。這是最近拓?fù)湓谖⒎謳缀�、理論物理�?yīng)用方面最引人注意的進(jìn)展。

　　二維流形的發(fā)展有一段光榮的歷史，牽涉到許多深刻的數(shù)學(xué)，可以斷言，三維、四維流形將更為豐富和神妙。

　　5.球裝問(wèn)題(SpherePacking)

　　如何把一定的空間裝得最緊，顯然是一個(gè)實(shí)際而重要的問(wèn)題。項(xiàng)武義教授最近在這方面做了很重要的工作。這里先介紹一個(gè)有關(guān)的問(wèn)題：圍著一個(gè)球，可以放幾個(gè)同樣大小的球？我們不妨假定球的半徑為一，即單位球。在平面情形，繞一單位圓我們顯然可以放6個(gè)單位圓。而在三維空間的情況則更為復(fù)雜。如果把單位球繞單位球相切，不難證明，12個(gè)球是放得進(jìn)的。這時(shí)雖然還剩下許多空，但不可能放進(jìn)第13個(gè)球。要證明這一結(jié)論并不容易。當(dāng)年Newton與Gregory有個(gè)討論。Newton說(shuō)第13個(gè)球裝不進(jìn)，Gregory說(shuō)也許可以。這個(gè)爭(zhēng)論長(zhǎng)期懸而未決。一直到1953年，K.Schutte和B.L.vanderWaerden才給了一個(gè)證明。這個(gè)證明是很復(fù)雜的。

　　一個(gè)更自然的問(wèn)題是怎樣把一個(gè)立方體空間用大小相同的球裝得最緊。衡量裝得是否緊湊的尺度是密度(density)，即所裝的球的總的體積和立方體空間的體積的比例。Kepler于1611年提出了一個(gè)猜想：他認(rèn)為立方體的球裝的密度不會(huì)大于π/(18^1/2)。項(xiàng)武義說(shuō)他證明了這個(gè)猜想。可是有人(GaborFejesToth)認(rèn)為他的證明不完全，甚至有人(ThomasL.Hales)說(shuō)是錯(cuò)誤的。\"MathematicalIntelligencer\"這個(gè)雜志上(1995年)，有關(guān)于這一問(wèn)題的討論，項(xiàng)武義有個(gè)答復(fù)。Toth是匈牙利數(shù)學(xué)家，三代人搞同一個(gè)課題。匈牙利數(shù)學(xué)很發(fā)達(dá)，在首都布達(dá)佩斯有個(gè)200多人的幾何研究所。我不知道幾何中是否有這么多重要的問(wèn)題需要這么多人去做。最年輕的Toth在\"MathematicsReviews\"中有篇關(guān)于項(xiàng)的文章的評(píng)論。他說(shuō)項(xiàng)的文章有些定理沒(méi)有詳細(xì)的證明。天下的事情就是這樣。做重要工作有爭(zhēng)議的時(shí)候，便產(chǎn)生一些有趣的現(xiàn)象。不過(guò)他覺(jué)得項(xiàng)的意思是對(duì)的。不但項(xiàng)的意思是對(duì)的，甚至表示這個(gè)意思他從前也有。最近項(xiàng)武義抒他認(rèn)為沒(méi)有的證明都有寫出來(lái)了。

　　最主要的，我要跟大家說(shuō)的是立體幾何在數(shù)學(xué)中是很重要而因難的部分。即使平面幾何也可能很難。到了立體時(shí)，則更為復(fù)雜。近年來(lái)對(duì)碳60(C60)的研究顯示了幾何在化學(xué)中的應(yīng)用。多面體圖形的幾何性質(zhì)對(duì)固態(tài)物理也有重大的作用。球裝不過(guò)是立體幾何的一個(gè)問(wèn)題。立體幾何是大有前途的。

　　6.Finsler幾何

　　最近經(jīng)我鼓勵(lì)，F(xiàn)insler幾何有重大發(fā)展，作簡(jiǎn)要報(bào)告如次：

　　在(x,y)平面上設(shè)積分

　　S=F(x,y,dy/dx)dx

　　其中y是x的未知函數(shù)。求這個(gè)積分的極小值，就是第一個(gè)變分學(xué)的問(wèn)題。稱積分s為弧長(zhǎng)，把觀念幾何化，即得Finsler幾何。

　　Gauss看出，在特別情形：

　　F2=E(x,y)+2F(x,y)y`+G(x,y)y`2，y`=dy/dx

　　其中E、F、G為x,y的函數(shù)，幾何性質(zhì)特別簡(jiǎn)單。1854年，Riemann的講演討論了整個(gè)情形，創(chuàng)立了Riemann-Finsler幾何。百余年來(lái)，Riemann幾何在物理中有重要的應(yīng)用，而整體Riemann幾何的發(fā)展更是近代數(shù)學(xué)的核心部分。

　　Riemann的幾何基礎(chǔ)包含F(xiàn)insler幾何。我們最近幾年的工作，把Riemann幾何的發(fā)展，局部的和整體的，完全推廣到Finsler幾何，而且很簡(jiǎn)單。因此，我覺(jué)得以后的微分幾何課或Riemann幾何課都應(yīng)該講一般情形。最近有幾個(gè)拓?fù)鋯?wèn)題。最主要的一個(gè)是Riemann流形的一個(gè)重要性質(zhì)，即英國(guó)數(shù)學(xué)家Hodge的調(diào)和積分。現(xiàn)在有2個(gè)年輕人，一個(gè)是DavidBao，另一個(gè)是他的美國(guó)學(xué)生，抒這個(gè)Hodge的調(diào)和積分推廣到了Finsler情形。這將是微分幾何的一塊新園地，預(yù)料前景無(wú)限。1995年夏在美國(guó)西雅圖有一Finsler幾何的國(guó)際會(huì)議。其論文集已于今年由美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)出版。

　　Finsler幾何在1900年有名的Hilbert演講中是第23個(gè)問(wèn)題。

　　7.中國(guó)的數(shù)學(xué)

　　數(shù)學(xué)研究的最高標(biāo)準(zhǔn)是創(chuàng)造性：要達(dá)到前人未到的境界，要找著最深刻的關(guān)鍵。從另一點(diǎn)看，數(shù)學(xué)的范圍是無(wú)垠的。我愿借此機(jī)會(huì)介紹一下科學(xué)出版社從俄文翻譯的《數(shù)學(xué)百科全書》，全書5大卷，每卷約千頁(yè)。中國(guó)能出版這樣的巨著，即使是翻譯，也是一項(xiàng)可喜的成就。這是一部十分完備的百科全書，值得贊揚(yáng)的。

　　對(duì)著如此的學(xué)問(wèn)大海，入門必須領(lǐng)導(dǎo)，便需要權(quán)威性的學(xué)校和研究所。數(shù)學(xué)是活的，不斷有杰出的貢獻(xiàn)，令人贊賞佩服。但一個(gè)國(guó)家，比較可以集中某些方面，不必完全趕時(shí)髦。當(dāng)年芬蘭的復(fù)變函數(shù)論，波蘭的純粹數(shù)學(xué)，都是專精一門而有成就的例子。中國(guó)應(yīng)該發(fā)展實(shí)力較強(qiáng)的方面。但由百科全書的例子，可看出中國(guó)的數(shù)學(xué)是全面的。這是一個(gè)可喜的現(xiàn)象。

　　中國(guó)的財(cái)富在\"人民\"。中國(guó)的數(shù)學(xué)政策，除了鼓勵(lì)尖端的研究以外，應(yīng)該用來(lái)提高一般的數(shù)學(xué)水平。我有兩個(gè)建議：(1)設(shè)立數(shù)學(xué)講座?待遇從優(yōu)，其資格可能是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有重大貢獻(xiàn)的人；
(2)設(shè)立新的數(shù)學(xué)中心，似乎成都、西安、廣州都是可能的地點(diǎn)。中心應(yīng)有相當(dāng)?shù)慕?jīng)費(fèi)，部分可由地方負(fù)擔(dān)，或私人籌措。

　　近年因?yàn)閲?guó)家開(kāi)放，年輕人都想經(jīng)商賺錢，當(dāng)然國(guó)家社會(huì)需要這樣的人。但是做科學(xué)的樂(lè)趣是一般不能理解的。在科學(xué)上做了基本的貢獻(xiàn)，有歷史的意義。我想對(duì)于許多人，這是一項(xiàng)了不得的成就。在崗位上專心學(xué)問(wèn)，提攜后進(jìn)，\"得天下之英才而教育之\"，應(yīng)該是十分愉快的事情。

　　一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題，是個(gè)人應(yīng)否讀數(shù)學(xué)。Hardy說(shuō)，一個(gè)條件是看你是否比老師強(qiáng)。這也許太強(qiáng)一些。我想學(xué)習(xí)應(yīng)不覺(jué)困難，讀名著能很快與作者聯(lián)系，都是測(cè)驗(yàn)。數(shù)學(xué)是小科學(xué)，可以關(guān)起門來(lái)做。在一個(gè)多面競(jìng)爭(zhēng)的社會(huì)中，是一項(xiàng)有優(yōu)點(diǎn)的職業(yè)，即使你有若干能力。

　　中國(guó)的數(shù)學(xué)有相當(dāng)水平。近年來(lái)政治多變，達(dá)此情況，足風(fēng)中華民族的勤勞本質(zhì)。從前一個(gè)數(shù)學(xué)家的最高標(biāo)準(zhǔn)，是從國(guó)外名大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們國(guó)家現(xiàn)在所必需做的，是充實(shí)各大學(xué)的研究院，充實(shí)博士學(xué)位，人才由自己訓(xùn)練。

　　致謝本文承葛墨林、陳永川教授幫助整理，特此致謝。

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